Искази и исказни формули
1. Искази
Декларативната реченица изговорена или запишана, за која има смисла да се постави прашањето дали е вистинито (Τ) или невистинито (¬T) се викаисказ.
Малите букви од латиницата: р, q, r, ѕ, t, … , со кои се
означуваат исказите се викаат исказни букви или исказни променливи.
Реченицата “исказот p е точен” се запишува: τ (p) = T, а “исказот q е неточен”, се запишува: τ (q) = ¬T
Декларативната реченица формирана од два дадени исказа, со помош на сврзниците “и”, “или”, ‘ако … , тогаш“, “ако и само ако” и неrацијата “не”, се вика сложен исказ.
Исказ што не содржи ниту еден од наведените сврзници,
се вика пpocт или елементарен исказ.
1.1. КОНЈУНКЦИЈА
Ознака: р ∧ q (се чита: р и q).
1.2. ДИСЈУНКЦИЈА
Ознака: р v q (се чита: р или q).
1.3. НЕГАЦИЈА
Ознака: ⏋Р (се чита: не р).
1.4. ИМПЛИКАЦИЈА
Ознака: ” р => q “(се чита: “Ако р, тогаш q“).
1.5. ЕКВИВАЛЕНЦИЈА
Ознака: “ р <=> q ” (се чита “р ако и само ако q“),
2. ИСКАЗНИ ФОРМУЛИ
Изрази добиени како резултат на сврзување (на дозволен начин) на исказните букви (р, q, r, … ) и знаците ⊤ и ⊥, со помош на симболите за логичките операции (∧, ∨, =>, <=> и ⏋) и загради се викаат исказни формули.
2.1. ТАВТОЛОГИЈА
Исказна формула што е секогаш вистинита за сите
вредности на исказнитe променливи, се вика тaвтoлoгија.
2.2. КОНТРАДИКЦИЈА
Исказна формула што е секогаш невистинита се вика контрадикција.
2.3. НЕУТРАЛНА ИСКАЗНА ФОРМУЛА
Исказна формула која за едни вредности на исказните променливи е вистинита а за други невистинита, се вика неутрална исказна формула.
2.4. ЕКВИВАЛЕНТНИ ИСКАЗНИ ФОРМУЛИ
Исказните формули што имаат еднаквиви вистинитосни вредности за секоја можна кобинација на вистинитосните вредности на нивните исказни променливи, велиме дека се еквивалентни. На пример, исказите р v q и q v р се еквивалентни исказни формули
2.5 ЛОГИЧКИ ЗАКОНИ
Логички закон или закон на мислењето претставува вистинита исказна формула, т.е тафтологија.
Таблици на вистинитосни вредности
1. Искази
Декларативната реченица изговорена или запишана, за која има смисла да се постави прашањето дали е вистинито (Τ) или невистинито (¬T) се викаисказ.
Малите букви од латиницата: р, q, r, ѕ, t, … , со кои се
означуваат исказите се викаат исказни букви или исказни променливи.
Реченицата “исказот p е точен” се запишува: τ (p) = T, а “исказот q е неточен”, се запишува: τ (q) = ¬T
Декларативната реченица формирана од два дадени исказа, со помош на сврзниците “и”, “или”, ‘ако … , тогаш“, “ако и само ако” и неrацијата “не”, се вика сложен исказ.
Исказ што не содржи ниту еден од наведените сврзници,
се вика пpocт или елементарен исказ.
1.1. КОНЈУНКЦИЈА
Ознака: р ∧ q (се чита: р и q).
1.2. ДИСЈУНКЦИЈА
Ознака: р v q (се чита: р или q).
1.3. НЕГАЦИЈА
Ознака: ⏋Р (се чита: не р).
1.4. ИМПЛИКАЦИЈА
Ознака: ” р => q “(се чита: “Ако р, тогаш q“).
1.5. ЕКВИВАЛЕНЦИЈА
Ознака: “ р <=> q ” (се чита “р ако и само ако q“),
2. ИСКАЗНИ ФОРМУЛИ
Изрази добиени како резултат на сврзување (на дозволен начин) на исказните букви (р, q, r, … ) и знаците ⊤ и ⊥, со помош на симболите за логичките операции (∧, ∨, =>, <=> и ⏋) и загради се викаат исказни формули.
2.1. ТАВТОЛОГИЈА
Исказна формула што е секогаш вистинита за сите
вредности на исказнитe променливи, се вика тaвтoлoгија.
2.2. КОНТРАДИКЦИЈА
Исказна формула што е секогаш невистинита се вика контрадикција.
2.3. НЕУТРАЛНА ИСКАЗНА ФОРМУЛА
Исказна формула која за едни вредности на исказните променливи е вистинита а за други невистинита, се вика неутрална исказна формула.
2.4. ЕКВИВАЛЕНТНИ ИСКАЗНИ ФОРМУЛИ
Исказните формули што имаат еднаквиви вистинитосни вредности за секоја можна кобинација на вистинитосните вредности на нивните исказни променливи, велиме дека се еквивалентни. На пример, исказите р v q и q v р се еквивалентни исказни формули
2.5 ЛОГИЧКИ ЗАКОНИ
Логички закон или закон на мислењето претставува вистинита исказна формула, т.е тафтологија.
Таблици на вистинитосни вредности
Теореми. Методи на докажување
1. МАТЕМАТИЧКИ ПОИМИ. ТВРДЕЊА
Реченицата со која се осмислува еден поим и се согледува неговата содржина преку други, веќе познати поими, се вика дефиниција на тој поим.
Поимите што се дефинираат се викаат изведени поими.
Поимите за кои не се дава дефиниција, а се користат за дефинирање на други поими се викаат првични или основни поими.
Реченици, искажани со зборови или симболи, со кои искажува некакво својство или врска на математички поими се викаат математички тврдења.
Математичките тврдења што се прифаќаат за точни без доказ се викаат првични тврдења или аксиоми.
Математичко тврдење чија точност се докажува се вика изведено тврдење или теорема.
2. ТЕОРЕМА. ВИДОВИ ТЕОРЕМИ
За теоремата искажана во форма на импликација р => q, т.е. со условна реченица “ако … , тогаш … “, се вели дека е дадена во условна форма.
Во теоремата р => q , р е претпостaвкa. а q заклучок на теоремата.
Кога теоремата е искажана “безусловно“, се вели дека таа е дадена во кaтегоричнa форма.
Ако обратното тврдење ( q => р) на една теорема ( p => q ) е точно, тогаш за него се вели дека е oбpaтнa теорема на дадената. Во тој случај дадената теорема p => q се вика диpeктнa тeopeмa.
3. ПРАВИЛА ЗА ИЗВЕДУВАЊЕ ЗАКЛУЧОЦИ
1. МОДУС ПОНЕНС- Логичкиот закон (р => q) ∧ р => q , е правило за изведување заклучоци и се вика модус пoнeнc (modus ponens)или правило за одделување.
2. МОДУС ТОЛЕНС-Логичкиот закон
(р => q) ∧ ⌉q => ⌉р,
е правило за изведување заклучоци што се вика модус толенс (modus tolens).
3. ХИПОТЕТИЧЕН СИЛОГИЗАМ-Логичкиот закон
(р => q) ∧ (q => r) => (р => r)
е правило за изведување заклучоци, кое се вика хипотетички силогизам.
_4. ПРАВИЛО ЗА КОНТРАПОЗИЦИЈА-Лоrичкиот закон
(р => q) => (⌉q => ⌉р),
се вика пpaвило на кoнтpaпoзициja.